Sistemi di qubit, nuovi gates e nuovi stati – Proviamo il computer quantistico di IBM! – Parte 4

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Cosa sono i sistemi di qubit? Cos’è l’entangled state?
IBM ha lanciato il suo programma IBM Quantum Experience!

Noi di Close-up Engineering ci siamo subito iscritti e IBM ci ha gentilmente accettati!
In questo articolo-tutorial composto da 6 parti, vedremo:

Parte 1: Come funziona un computer quantistico Parte 2: L’algebra del qubit e le operazioni base Parte 3: Proviamo il computer quantistico di IBM Parte 4: Sistemi di qubit, gates ed entangled state Parte 5: Potenziamo il computer quantistico di IBM!  Parte 6: Algoritmi Quantistici 

Rispondiamo All’engima

Nella Parte 3 ci siamo lasciati con un quesito:
Dopo aver applicato una CNOT ad un qubit in sovrapposizione, il qubit di output risultava nullo, non misurabile.

Perchè?
Questo succede perchè il qubit è entrato in uno stato in cui non è più separabile dal qubit di controllo (Entangled State). Pensiamoci:
Abbiamo un gate che, se il qubit di controllo è \(|0\rangle\) non fa niente, se è \(|1\rangle\) invece applica una porta logica NOT al qubit di input.
Ma se il qubit di controllo è in superposition, è sia \(|0\rangle\) che \(|1\rangle\).
Questo significa che il nostro qubit di input, una volta passato il gate, sarà \(|0\rangle\) o \(|1\rangle\) in base a come è il qubit di controllo, anche se ormai sono separati e non si possono più influenzare a vicenda, in realtà continueranno a rimanere legati per sempre, questa è la MAGIA della quantistica.
Per questo, non possiamo rappresentarlo nella sfera di Bloch. Possiamo però misurare entrambi i qubit insieme, ottenendo i seguenti risultati:
\(|00\rangle\) – 50%
\(|01\rangle\) – 0%
\(|10\rangle\) – 0%
\(|11\rangle\) – 50%

Sistemi di qubit

I qubit appena analizzati, si chiamano sistemi di qubit.
Un sistema di qubit non è altro che una sequenza di qubit, come il byte lo è del bit.
Ma c’è una grande differenza tra qubit e bit.
Uno spazio vettoriale di \(n\) qubit ha una dimensione di \(2^n\) , e una sua base standard è data da tutte le combinazioni di qubit \(k\in \{0, 2^n-1\}\):
sistema 2 qubit
$$\{|00\rangle, |01\rangle,  |10\rangle,  |11\rangle\}$$
sistema 4 qubit
$$\{|000\rangle, |001\rangle,  |010\rangle,  |011\rangle,  |100\rangle,  |101\rangle,  |110\rangle,  |111\rangle \}$$
e così via.

Qui la prima differenza: se con i normali bit è semplicemente il numero di bit che possiamo rappresentare, ad aumentare esponenzialmente.. con i qubit è la dimensione dello spazio vettoriale che aumenta esponenzialmente! Questo significa che: se in un sistema a 8 bit un valore può essere IN UNO SOLO degli \(2^n\) stati, in un sistema ad 8 qubit un valore può essere con \(2^n\) probabilità diverse in tutti e \(2^n\) stati diversi (una probabilità per ogni stato diverso)!
Ed è per questo che un computer quantistico non si può simulare su un normale computer:
Si potrebbero simulare solo sistemi di pochissimi qubit.

non-clifford gates

Tutti i gates che abbiamo visto finora (X, Z, Y, H, S, CNOT) appartengono al gruppo dei Clifford Gates cioè quei gates che possono essere simulati in un computer classico, e che non rappresentano la vera potenza del calcolo quantistico.
Abbia accennato ad un altro Gate un po’ particolare, il gate T, che algebricamente si esprime in questo modo:

Il gate T ci permette di raggiungere più punti possibili della superficie della sfera di Bloch. Per ora ne abbiamo raggiunti solo 6! Ad ogni livello di profondità (dato dal numero di volte che si applica T) si possono raggiungere sempre un maggior numero di stati.

Ecco disegnati i punti raggiungibili nella sfera di Bloch dopo 0, 1, 2, 3, 4, 5 applicazioni di T:

GHZ State

Lo stato non rappresentabile che abbiamo visto nella Parte 3 è chiamato Bell State.
Ora vediamo un altro stato ancora più complesso, chiamato GHZ State:
$$\frac{1}{\sqrt{2}}(|000\rangle- |111\rangle)$$

Misurando questo stato otteniamo metà \(|000\rangle\) e metà \(|111\rangle\).

Per ottenerlo, creiamo questo circuito:

Con i primi gates HHX portiamo il sistema di qubit in questo stato di superposition:
$$\frac{1}{2}(|001\rangle+ |011\rangle + |101\rangle +|111\rangle)$$

Successivamente, con le CNOT portiamo il sistema in uno stato di Entagled dato da:
$$\frac{1}{2}(|001\rangle + |010\rangle + |100\rangle + |111\rangle)$$

Successivamente ruotiamo gli assi per misurare il sistema, ottenendo quindi il GHZ State.

Ciò che potete provare a fare è misurare lo stesso stato su altri assi, utilizzando i Gates S H e \(S^T\).

Nella prossima sezione vedremo come migliorare le prestazioni del computer quantistico di IBM!

Parte 5: Potenziamo il computer quantistico di IBM! 

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